1. Một chiếc thang có chiều dài \[AB = 3,7\,\,{\rm{m}}\] đặt cách một bức tường khoảng cách \[BH = 1,2\,\,{\rm{m}}.\] Biết rằng khoảng cách “an toàn” khi \(2,0 < \frac{{AH}}{{BH}} < 2,2\) (xe

1.Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \[ABH\]vuông tại \[H\], ta có:

\(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\) suy ra \(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}\).

Do đó\(AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{{\left( {3,7} \right)}^2} - {{\left( {1,2} \right)}^2}} = 3,5\,\,(m)\).

Ta có \(\frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{3,5}}{{1,2}} \approx 2,9\).

Mà \[2,9 > 2,2\] nên khoảng cách đặt thang cách chân tường là không an toàn.

2. Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) là:

\({S_{xq}} = \frac{1}{2} \cdot \left( {AB + BC + CA} \right) \cdot SI = \frac{1}{2} \cdot \left( {5 + 5 + 5} \right) \cdot 6 = 45{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right){\rm{.}}\)

Tam giác \(ABC\) là tam giác đều nên đường trung tuyến \(CI\) đồng thời là đường cao.

Xét \(\Delta ACI\) vuông tại \(I\) có \(A{C^2} = A{I^2} + C{I^2}\).

Suy ra \(C{I^2} = A{C^2} - A{I^2} = {5^2} - {\left( {\frac{1}{2} \cdot 5} \right)^2} = 25 - \frac{{25}}{4} = \frac{{75}}{4}\).

Do đó \(CI = \sqrt {\frac{{75}}{4}} \approx 4,33{\rm{\;(cm)}}.\)

Diện tích đáy của hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) là:

 $S_{đáy}=\frac{1}{2}\cdot CI\cdot AB\approx \frac{1}{2}\cdot \mathrm{4,33}\cdot 5\approx \mathrm{10,83}\left({\text{cm}}^2\right)\text{.}$

Diện tích toàn phần của hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) là:

 $S_{tp}=S_{xq}+S_{đáy}\approx 45+\mathrm{10,83}=\mathrm{55,83}\left({\text{cm}}^2\right)\text{.}$

Vậy hình chóp \(S.ABC\) có diện tích xung quanh là \(45{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}\) và diện tích toàn phần là \(55,83{\rm{\;}}\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)