1) Giải phương trình căn bậc hai x-3 - căn bậc hai 2x-7 = 2x-8

1) Điều kiện: \(x \ge \frac{7}{2}.\)

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{{x - 3 - 2x + 7}}{{\sqrt {x - 3} + \sqrt {2x - 7} }} = 2\left( {x - 4} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{4 - x}}{{\sqrt {x - 3} + \sqrt {2x - 7} }} = 2\left( {x - 4} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4\,\,(TMDK)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\frac{1}{{\sqrt {x - 3} + \sqrt {2x - 7} }} = - 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4\,\,(TMDK)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\sqrt {x - 3} + \sqrt {2x - 7} = \frac{{ - 1}}{2}\,\,\,(2)}\end{array}} \right.\end{array}\)

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {x - 3} \ge 0}\\{\sqrt {2x - 7} \ge 0}\end{array}} \right.\) với mọi \(x \ge \frac{7}{2}\) nên \(\sqrt {x - 3} + \sqrt {2x - 7} \ge 0 > - 2\) với mọi \(x \ge \frac{7}{2}.\)

Vậy phương trình ban đầu có nghiệm \(x = 4.\)

2) Cho \(a,b\) và \(c\) là các số thực khác \(0\) thỏa mãn điều kiện \({a^2} - {c^2} = c,{c^2} - {b^2} = b\) và \({b^2} - {a^2} = a.\) Chứng minh \(\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right) = 1.\)

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} - {c^2} = c}\\{{c^2} - {b^2} = b}\\{{b^2} - {a^2} = a}\end{array}} \right. \Rightarrow a + b + c = 0\)

Ta có \({a^2} - {c^2} = c \Leftrightarrow \left( {a - c} \right)\left( {a + c} \right) = c \Rightarrow \left( {a - c} \right)\left( { - b} \right) = c \Leftrightarrow b\left( {c - a} \right) = c\)

Tương tự ta có \({c^2} - {b^2} = b \Rightarrow a\left( {b - c} \right) = b;{b^2} - {a^2} = a \Rightarrow c\left( {a - b} \right) = a.\)

Do đó \(b\left( {c - a} \right)a\left( {b - c} \right)c\left( {a - b} \right) = abc \Rightarrow \left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right) = 1\) (do \(abc \ne 0).\)