1) Giải hệ phương trình (x^3) + (z^3) = 3y; (y^3) + (x^3) = 3z; {(z^3) + (y^3) = 3x
Hướng dẫn giải
1) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} + {z^3} = 3y}\\{{y^3} + {x^3} = 3z}\\{{z^3} + {y^3} = 3x}\end{array}} \right.\).
Lấy hiệu phương trình (1) và (2) vế theo vế ta được: \(\left( {y - z} \right)\left( {{y^2} + yz + {z^2} + 3} \right) = 0\).
Do \({y^2} + yz + {z^2} = {\left( {y + \frac{z}{2}} \right)^2} + \frac{{3{z^2}}}{4} \ge 0\) nên \(y = z\).
Tương tự, lấy hiệu phương trình (2) và (3) ta được \(x = z\).
Thế lại (1): \(2{x^3} = 3x\).
TH1: \(x = 0 = y = z\) | TH2: \(x = \sqrt {\frac{3}{2}} = y = z\) | TH3: \(x = - \sqrt {\frac{3}{2}} = y = z\). |
2) Điều kiện: \(x \ge 0\).
Phương trình trở thành: \(x = 1\) hoặc \({x^2} - 2\left( {a + b} \right)x + ab + 2 = 0\quad (*)\).
Xét phương trình \((*)\), ta có \(\Delta ' = {\left( {a + b} \right)^2} - ab - 2 = {a^2} + {b^2} + ab - 2 \ge 0\) (do \(a,\,\,b\) nguyên dương);
\(S = a + b > 0\,;\,\,P = ab + 2 > 0\).
Suy ra phương trình \((*)\) có hai nghiệm phân biệt dương.
Ta nhận xét tiếp phương trình \((*)\) không nhận \(x = 1\) là nghiệm.
Giả sử ngược lại, thế vào phương trình ta có:
\({1^2} - 2 \cdot \left( {a + b} \right) \cdot \,1 + ab + 2 = 0\)
\(\left( {a - 2} \right)\left( {b - 2} \right) = 1\)
\(a = b = 1\) hoặc \(a = b = 3\) (trái giả thuyết \(a,\,\,b\) phân biệt).
Vậy phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt.