1) Giải hệ phương trình 2/ x-3 - 3y = 1 và 3/ x-2 + 2y=8

1). \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{2}{{x - 3}} - 3y = 1}\\{\frac{3}{{x - 3}} + 2y = 8}\end{array}} \right.\) điều kiện: \(x \ne 3\).

Đặt \(\frac{1}{{x - 3}} = a\) hệ phương trình trở thành: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a - 3y = 1}\\{3a + 2y = 8}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\y = 1\end{array} \right.\).

Với \(a = 2 \Rightarrow \frac{1}{{x - 3}} = 2 \Rightarrow x = \frac{7}{2}\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;\,y} \right) = \left( {\frac{7}{2};\,1} \right)\).

2)

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\).

\({x^2} = (m + 2)x - m\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - (m + 2)x + m = 0\)(*)

Ta có \(\Delta  = {(m + 2)^2} - 4.1.m \Rightarrow \Delta  = {m^2} + 4\).

Do \({m^2} \ge 0\) với mọi \(m \Rightarrow {m^2} + 4 > 0\) với mọi \(m\)

\( \Rightarrow \Delta  > 0\) với mọi \(m\), Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt  với mọi \(m\).

Vậy \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt với mọi \(m\).

b) Gọi \({x_1}\) và \({x_2}\) là hoành độ các giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\). Tìm tất cả giá trị của \(m\) để

\(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{1}{{{x_1} + {x_2} - 2}}\)

Theo hệ thức Vi - et ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 2\\{x_1}{x_2} = m\end{array} \right.\]

                   Điều kiện để biểu thức \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{1}{{{x_1} + {x_2} - 2}}\)có nghĩa: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} \ne 0\\{x_2} \ne 0\\{x_1} + {x_2} \ne 2\end{array} \right.\]

                  Khi đó: \[\left\{ \begin{array}{l}m + 2 \ne 2\\m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ne 0\]

                  Xét: \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{1}{{{x_1} + {x_2} - 2}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}.{x_2}}} = \frac{1}{{{x_1} + {x_2} - 2}}\)

                       \( \Leftrightarrow \frac{{m + 2}}{m} = \frac{1}{{m + 2 - 2}}\)

                              \( \Leftrightarrow \frac{{m + 2}}{m} = \frac{1}{m}\)

                    \( \Leftrightarrow m + 2 = 1\)

                     \( \Leftrightarrow m =  - 1\)(Thỏa mãn điều kiện)

Vậy với \(m =  - 1\)thì thỏa mãn yêu cầu bài toán