1. Để thiết kế mặt tiền cho căn nhà cấp bốn mái thái, sau khi xác định chiều dài mái \[PQ = 1,5\,\,{\rm{m}}.\] Chú thợ nhẩm tính chiều dài mái \[DE\] biết \[Q\] là trung điểm \[EC,{\rm{ }}P\]

3/4

1. Để thiết kế mặt tiền cho căn nhà cấp bốn mái thái, sau khi xác định chiều dài mái \[PQ = 1,5\,\,{\rm{m}}.\] Chú thợ nhẩm tính chiều dài mái \[DE\] biết \[Q\] là trung điểm \[EC,{\rm{ }}P\] là trung điểm của \[DC.\] Tính giúp chú thợ xem chiều dài mái \[DE\] bằng bao nhiêu (xem hình vẽ minh họa)?

$1. Để thiết kế mặt tiền cho căn nhà cấp bốn mái thái, sau khi xác định chiều dài mái \[PQ = 1,5\,\,{\rm{m}}.\] Chú thợ nhẩm tính chiều dài mái \[DE\] biết \[Q\] là trung điểm \[EC,{\rm{ }}P\] là trung điểm của \[DC.\] Tính giúp chú thợ xem chiều dài mái \[DE\] bằng bao nhiêu (xem hình vẽ minh họa)? 2. Cho tam giác \[ABC\] nhọn \[\left( {AB < AC} \right)\] có hai đường cao \[BE,{\rm{ }}CF\] cắt nhau tại \[H.\] a) Chứng minh: . b) Chứng minh: $AF \cdot AB = AE \cdot AC$. c) Đường thẳng qua \[B\] và song song với \[EF\] cắt \[AC\] tại \[M.\] Gọi \[I\] là trung điểm của \[BM,{\rm{ }}D\] là giao điểm của \[EI\] và \[BC.\] Chứng minh ba điểm \[A,{\rm{ }}H,{\rm{ }}D\] thẳng hàng. (ảnh 1)$

2. Cho tam giác \[ABC\] nhọn \[\left( {AB < AC} \right)\] có hai đường cao \[BE,{\rm{ }}CF\] cắt nhau tại \[H.\]

a) Chứng minh: .

b) Chứng minh: $AF \cdot AB = AE \cdot AC$.

c) Đường thẳng qua \[B\] và song song với \[EF\] cắt \[AC\] tại \[M.\] Gọi \[I\] là trung điểm của \[BM,{\rm{ }}D\] là giao điểm của \[EI\] và \[BC.\] Chứng minh ba điểm \[A,{\rm{ }}H,{\rm{ }}D\] thẳng hàng.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

1. Vì \[Q\] là trung điểm \[EC,{\rm{ }}P\] là trung điểm của \[DC\] nên \[PQ\] là đường trung bình của tam giác \[CDE\]

Khi đó $QP = \frac{1}{2}DE$.

Do đó $DE = 2QP = 2 \cdot 1,5 = 3\,\,{\rm{(m)}}$.

Vậy chiều dài mái \[DE\] bằng \[3\,\,{\rm{m}}.\]

2. a) Xét \[\Delta FHB\] và \[\Delta EHC\] có:

\[\widehat {FHB} = \widehat {EHC}\]; $\widehat {HFB} = \widehat {HEC}\;\left( { = 90^\circ } \right)$

Do đó .

b) Xét \[\Delta AEB\] và \[\Delta AFC\] có:

$\widehat {EAB} = \widehat {FAC}\;\,\left( {\widehat A\;\,{\rm{chung}}} \right)$; $\widehat {AEB} = \widehat {AFC}\;\left( { = 90^\circ } \right)$

Do đó

Suy ra $\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AB}}{{AC}}$ hay $AF \cdot AB = AE \cdot AC$ (đpcm)

c) • Xét \[\Delta ABC\] có hai đường cao \[BE,{\rm{ }}CF\] và cắt nhau tại \[H\] nên suy ra \[H\] là trực tâm của tam giác \[ABC\] nên \[AH \bot BC\]. (1)

• Xét \[\Delta BEM\] vuông tại \[E\] có \[I\] là trung điểm của \[BM\] nên $IE = BI = IM = \frac{{BM}}{2}$.

• Xét \[\Delta IEM\] có \[IE = IM\] (cmt) nên tam giác \[IEM\] cân tại \[I\].

Suy ra $\widehat {IEM} = \widehat {IME}$. (2)

• Xét \[\Delta ABC\] có \[FE{\rm{ // }}BC\] suy ra $\widehat {AEF} = \widehat {AMB}$ (hai góc đồng vị). (3)

• Ta có \[AF \cdot AB = AE \cdot AC\] suy ra $\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AB}}$.

• Xét \[\Delta ABF\] và \[\Delta ABC\] có:

\[\widehat {EAF} = \widehat {BAC}\,\;\left( {\widehat A\;\,{\rm{chung}}} \right)\]; \[\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AB}}\;\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)\]

Do đó .

Suy ra $\widehat {AEF} = \widehat {ABC}$ (hai góc tương ứng). (4)

Từ (2), (3), (4) suy ra $\widehat {CED} = \widehat {ABC}$.

• Xét \[\Delta CED\] và \[\Delta CBA\] có:

$\widehat {ECD} = \widehat {BCA}\,\;\left( {\widehat C\;\,{\rm{chung}}} \right)$; $\widehat {CED} = \widehat {ABC}\;\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)$

Do đó .

Suy ra $\frac{{CE}}{{CB}} = \frac{{CD}}{{CA}}$ hay $\frac{{CE}}{{CD}} = \frac{{CB}}{{CA}}$.

• Xét \[\Delta CEB\] và \[\Delta CDA\] có:

$\frac{{CE}}{{CD}} = \frac{{CB}}{{CA}}\;\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)$; $\widehat {ECB} = \widehat {DCA}\,\;\left( {\widehat C\;\,{\rm{chung}}} \right)$

Do đó .

Suy ra $\widehat {CDA} = \widehat {CEB}$ (hai góc tương ứng).

Nên $\widehat {CDA} = 90^\circ $, do đó $AD \bot BC$. (5)

Từ (1) và (5) suy ra ba điểm \[A,{\rm{ }}H,{\rm{ }}D\] thẳng hàng (đpcm).