1. Biết phương trình 2(x^2) - 3ax + a = 0 có một nghiệm là b và phương trình a(x^20 - 3ax + 2 = 0 có một nghiệm là 4/(3 - b) với a là số thực khác 0 và b là số thực khác 3. Tính giá trị biểu

2/4

1. Biết phương trình \(2{x^2} - 3ax + a = 0\) có một nghiệm là \(b\) và phương trình \(a{x^2} - 3ax + 2 = 0\) có một nghiệm là \(\frac{4}{{3 - b}}\) với \(a\) là số thực khác 0 và \(b\) là số thực khác 3. Tính giá trị biểu thức \(T = {a^3} + {b^3}\).

2. Để chuẩn bị cho kỳ thi khảo sát năng lực trực tuyến, hệ thống học tập LMS của trường cần thuê máy chủ từ hai nhà cung cấp dịch vụ điện toán đám mây là Alpha và Beta để tự động xử lý và phân tích ảnh của 5000 bài thi trắc nghiệm. Nhà cung cấp Alpha xử lý \(x\) bài thi với tổng chi phí là \(f(x) = \frac{1}{{40}}{x^2} + 100x\) đồng. Nhà cung cấp Beta tính phí thiết lập hệ thống ban đầu là \(400\,\,000\) đồng và phí xử lý cho mỗi bài thi là 200 đồng.

a. Tính tổng chi phí mà trường phải trả cho cả hai nhà cung cấp theo \(x\), đơn vị: đồng.

b. Tổng chi phí thấp nhất phải trả là bao nhiêu đồng?

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Hướng dẫn giải

1. Thế các nghiệm vào phương trình tương ứng, ta có:

\(2{b^2} - 3ab + a = 0\quad (1)\)

\(a{\left( {\frac{4}{{3 - b}}} \right)^2} - 3a\left( {\frac{4}{{3 - b}}} \right) + 2 = 0\quad (2)\)

Từ (1) suy ra \(a\left( {1 - 3b} \right) = - 2{b^2}\)

\(a = \frac{{2{b^2}}}{{3b - 1}}\) (nếu \(b = \frac{1}{3}\) thì \(a \cdot 0 = \frac{{ - 2}}{9}\) (vô lí), do đó \(b \ne \frac{1}{3}\)).

Rút gọn phương trình (2), ta được: \[a\frac{{16}}{{{{\left( {3 - b} \right)}^2}}} - a\frac{{12}}{{3 - b}} + 2 = 0\]

\(a\frac{8}{{{{\left( {3 - b} \right)}^2}}} - a\frac{6}{{3 - b}} + 1 = 0\)

\(a\left[ {8 - 6\left( {3 - b} \right)} \right] + {\left( {b - 3} \right)^2} = 0\)

\(a\left( {6b - 10} \right) + {\left( {b - 3} \right)^2} = 0\)

Thế \(a\) vào ta được:

\(\frac{{2{b^2}\left( {6b - 10} \right)}}{{3b - 1}} + {b^2} - 6b + 9 = 0\)

\(12{b^3} - 20{b^2} + 3{b^3} - {b^2} - 18{b^2} + 6b + 27b - 9 = 0\)

\(15{b^3} - 39{b^2} + 33b - 9 = 0\)

\(5{b^3} - 13{b^2} + 11b - 3 = 0\)

\(\left( {b - 1} \right)\left( {5{b^2} - 8b + 3} \right) = 0\)

\({\left( {b - 1} \right)^2}\left( {5b - 3} \right) = 0\)

TH1: \(b = 1\) suy ra \(a = 1\), do đó \(T = {1^3} + {1^3} = 2\).

TH2: \(b = \frac{3}{5}\) suy ra \(a = \frac{9}{{10}}\), do đó \(T = {\left( {\frac{9}{{10}}} \right)^3} + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^3} = \frac{{189}}{{200}}\).

2. a) Máy chủ Alpha xử lý \(x\) bài với chi phí: \(f\left( x \right) = \frac{1}{{40}}{x^2} + 100x\).

Máy chủ Beta sẽ xử lý \((5000 - x)\) bài với chi phí:

\(g\left( x \right) = 400\,\,000 + 200\left( {5000 - x} \right) = 1\,\,400\,\,000 - 200x\).

Tổng chi phí: \(C\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right) = \frac{1}{{40}}{x^2} - 100x + 1\,\,400\,\,000\) (đồng).

b) Tổng chi phí là \(C\left( x \right) = \frac{1}{{40}}{x^2} - 100x + 1\,\,400\,\,000\).

Ta có \(C\left( x \right) = \frac{1}{{40}}\left( {{x^2} - 4\,\,000x} \right) + 1\,\,400\,\,000\)

\( = \frac{1}{{40}}\left( {{x^2} - 2 \cdot x \cdot 2000 + {{2000}^2} - {{2000}^2}} \right) + 1\,\,400\,\,000\)

\( = \frac{1}{{40}}{\left( {x - 2000} \right)^2} - 100\,\,000 + 1\,\,400\,\,000\)\( = \frac{1}{{40}}{\left( {x - 2000} \right)^2} + 1\,\,300\,\,000\).

Vì \({\left( {x - 2000} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \left[ {0\,;\,\,5000} \right]\) nên \(C(x) \ge 1\,\,300\,\,000\) với mọi \(x \in \left[ {0\,;\,\,5000} \right]\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x - 2000 = 0\) nên \(x = 2000\) (TMĐK).

Vậy tổng chi phí thấp nhất phải trả là \(1\,\,300\,\,000\) đồng.