1/a^2 2 1/b^2 2 1/c^2 2 tìm min của 3ab bc ca

Lời giải:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

\(\frac{2}{{{a^2} + 2}} + \frac{2}{{{b^2} + 2}} + \frac{2}{{{c^2} + 2}} \le 2\)

\(1 - \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2}} + 1 - \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2}} + 1 - \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2}} \le 2\)

\(\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2}} \ge 1\)(*)

Cần chứng minh (*) đúng. Thật vậy, áp dụng BĐT Cô-si dạng Engel, ta có:

\(\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2}} \ge \frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 6}} = \frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2(ab + bc + ac)}} = 1\)

Vậy BĐT được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1.