(1,0 điểm) Cho tam giác A B C vuông cân tại A . Lấy điểm M thuộc cạnh huyền B C . Gọi D , E lần lượt là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng A B , A C . a) Tứ g

Hướng dẫn giải

a)

Do \[D,{\rm{ }}E\] lần lượt là hình chiếu của điểm \[M\] trên đường thẳng \[AB,{\rm{ }}AC\] nên \[MD \bot AB,\] \[ME \bot AC.\]

Suy ra \[\widehat {ADM} = \widehat {AEM} = 90^\circ \]

Tam giác \[ABC\] vuông cân tại \[A\] nên \[\widehat {BAC} = 90^\circ .\]

Tứ giác \[ADME\] có \(\widehat {DAE} = \widehat {AEM} = \widehat {MDA} = 90^\circ \) nên \[ADME\] là hình chữ nhật.

b) Do \[ADME\] là hình chữ nhật nên \[DM\,{\rm{//}}\,AC.\]

Suy ra \(\widehat {BMD} = \widehat {ACB}\) (hai góc so le trong).

Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = 45^\circ \) (vì tam giác \[ABC\] vuông cân tại \[A),\] suy ra \(\widehat {BMD} = \widehat {ABC} = 45^\circ .\)

Do đó tam giác \[BDM\] cân tại \[D.\] Suy ra \[BD = DM.\]

Chu vi của hình chữ nhật \[ADME\] là: \[2\left( {AD + DM} \right) = 2\left( {AD + BD} \right) = 2AB.\]

Mà \[AB\] không đổi nên chu vi của tứ giác \[ADME\] không đổi.