(1,0 điểm) Cho hình vuông A B C D . Lấy E là điểm trên cạnh D C ; F là điểm trên tia đối của tia B C sao cho B F = D E . Gọi I là trung điểm của E F . a)

Hướng dẫn giải

a) Vì \(ABCD\) là hình vuông nên

\[\widehat {DAC} = \widehat {BAD} = \widehat {ABC} = \widehat {ABF} = 90^\circ \,;\,\,AD = AB.\]

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ABF\) có

\[\widehat {DAC} = \widehat {ABF} = 90^\circ \] (cmt); \(BF = DE\) (gt); \[AD = AB\] (cmt)

Do đó \(\Delta ADE = \Delta ABF\) (hai cạnh góc vuông).

Suy ra \(AE = AF\,;\,\,\widehat {DAE} = \widehat {BAF}\).

Ta có \[\widehat {DAE} + \widehat {EAB} = \widehat {BAD} = 90^\circ \] nên \[\widehat {FAB} + \widehat {EAB} = 90^\circ \] hay \[\widehat {EAF} = 90^\circ .\]

Xét tam giác \(AEF\) có \[\widehat {EAF} = 90^\circ \] và \(\widehat {DAE} = \widehat {BAF}\) nên tam giác \(AEF\)vuông cân.

b) Vì tam giác \(AEF\)vuông cân có \(AI\) là đường trung tuyến (vì \(I\) là trung điểm của \(EF\,)\) nên \(AI\) cũng là đường cao hay \(AI \bot EF.\)

Tam giác \(AEF\) vuông cân có \(AI\) là đường cao ứng với cạnh huyền \(EF\) nên \(AI = IE = IF = \frac{1}{2}EF.\)

Mặt khác, điểm \(K\) đối xứng với \(A\) qua \(I\) nên \(AI = IK.\)

Tứ giác \(AEKF\) có \(AI = IK = IE = IF\) nên \(AEKF\) là hình thoi.

Hình thoi \(AEKF\) có \[\widehat {EAF} = 90^\circ \] nên \(AEKF\) là hình vuông.