(0,5 điểm) Cho tỉ lệ thức a b = c d . Chứng minh đẳng thức 5 a + 3 b 3 a − 7 b = 5 c + 3 d 3 c − 7 d .

Hướng dẫn giải

Đặt \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{R}} \right)\), suy ra \(a = k.b;c = k.d\).

Ta có:

\(\frac{{5a + 3b}}{{3a - 7b}} = \frac{{5kb + 3b}}{{3kb - 7b}} = \frac{{b\left( {5k + 3} \right)}}{{b\left( {3k - 7} \right)}} = \frac{{5k + 3}}{{3k - 7}}\) (1)

\(\frac{{5c + 3d}}{{3c - 7d}} = \frac{{5kd + 3d}}{{3kd - 7d}} = \frac{{d\left( {5k + 3} \right)}}{{d\left( {3k - 7} \right)}} = \frac{{5k + 3}}{{3k - 7}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{5a + 3b}}{{3a - 7b}} = \frac{{5c + 3d}}{{3c - 7d}} = \frac{{5k + 3}}{{3k - 7}}\).

Vậy \(\frac{{5a + 3b}}{{3a - 7b}} = \frac{{5c + 3d}}{{3c - 7d}}\) (đpcm).