(0,5 điểm) Cho phân thức A = x 4 + x 3 + x + 1 x 4 − x 3 + 2 x 2 − x + 1 . Chứng minh rằng A luôn không với mọi giá trị thực của x .

Hướng dẫn giải

Ta có \[A = \frac{{{x^4} + {x^3} + x + 1}}{{{x^4} - {x^3} + 2{x^2} - x + 1}}\]

\[ = \frac{{{x^3}\left( {x + 1} \right) + \left( {x + 1} \right)}}{{\left( {{x^4} + 2{x^2} + 1} \right) - \left( {{x^3} + x} \right)}}\]

\[ = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^3} + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2} - x\left( {{x^2} + 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}\]\[ = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}}.\]

Với mọi \(x \in \mathbb{R},\) ta có \[{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\,;\,\,{x^2} \ge 0\] suy ra \[{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\,;\,\,{x^2} + 1 > 0.\]

Do đó \[A = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} \ge 0.\]

Vậy \(A\) luôn không với mọi giá trị thực của \(x.\)

\ [= \ frac {{\ left ({x + 1}